集中趋势	性质	分类数据	顺序数据	数值型数据	离中趋势	性质	分类数据	顺序数据	数值型数据
众数	众数`M_0`：一组数据中出现次数最多的变量值 主要用于测度分类数据的 集中趋势，也可作为顺序数据以及数值型数据集中趋势的测度值。 只有 在数据量较大的情况下，众数才有意义 众数不受数据中极端值的影响 众数可能不存在，也可能不止一个	最多的类别	最多的顺序类别	频率分布图中概率最大的点所对应的变量值 如果是组矩型，则`M_0=L+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2}d=U-\frac{\Delta_2}{\Delta_1+\Delta_2}d` `\Delta_1,\Delta_2`分别为该组的频数与下限相邻组，上限相邻组的频数之差，d为组距	异众比率	非众数组的频数占总频数的比例`V_r` `V_r=\frac{\sum f_i-f_m}{\sum f_i}=1-\frac{f_m}{\sum f_i}` `\sum f_i`为变量值的总频数;`f_m`为众数组的频数 异众比率越大，众数的代表性越差	异众比率适合测度分类数据的离散程度	可以，计算差不多	可以，并不好计算异众比率
中位数`M_e`	一组数据排序后处于中间位置上的变量值 设一组数据为`x_1,x_2,\cdots,x_n`,按从小到大的顺序排序后为`x_{(1)},x_{(2)},\cdots,x_{(n)}`,则中位数为：$$\begin{cases} x_{(\frac{n+1}{2})} & n为奇数 \\ \frac{1}{2}\left(x_{(\frac{n}{2})}+x_{(\frac{n}{2}+1)}\right) & n为偶数 \end{cases}$$	不适用	主要用于测度顺序数据的集中趋势	如果是单项变量,则应该是首次累积频率超过`\frac{\sum f}{2}`的组所对应的变量值 如果是组距型，`M_e=L+\frac{\sum f/2-S_{m-1}}{f_m}\times d` `S_{m-1}`为下限相邻组的累积频数，f_m为该组的频数,d为组距	四分位差$M_d$（内距或四分间距）	`Q_d=Q_U-Q_L` 反映了中间50%数据的离散程度，越小，中间的数据越集中 不受极值影响 反映了中位数对一组数据的代表性 主要用于测度顺序数据的离散程度	不适合	主要用于测度顺序数据的离散程度	找到四分位点对应的值，计算四分位差
四分位数	上四分位数和下四分位数 先排序然后确定位置 `Q_L位置=\frac{n}{4}` `Q_U位置=\frac{3n}{4}` 找到位置后，整数部分的数字+小数部分的数字乘上相邻数字的差值,比如`Q_L`位置为3.25，则`Q_L=x_{(3)}+0.25\times (x_{(4)}-x_{(3)})`	不适用	与中位数类似	与中位数类似
平均数$\bar{x}$(均值)	集中趋势的主要测度值，主要适用于数值型数据，而不适用于分类数据和顺序数据。 简单平均数：根据未分组数据计算的平均数称为简单平均数 `\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}` 加权平均数:根据分组数据计算的平均数称为加权平均数。 设原始数据被分成k组，各组的组中值分别用`M_1,M_2,\cdots,M_k`表示，各组变量值出现的频数分别用`f_1,f_2,\cdots,f_k`,则`\bar{x}=\frac{M_1f_1+M_2f_2+\cdots+M_kf_k}{f_1+f_2+\cdots+f_k}=\frac{\sum_{i=1}^kM_i f_i}{n}` 几何平均数:n个变量值乘积的n次方根，用G表示。$$G=\sqrt[n]{x_1\times x_2\times \cdots\times x_n}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}$$ $$平均增长率\bar{G}=\sqrt[n]{\prod_{1=1}^n(1+G_i)}-1$$ 它主要用于计算平均比率。当所掌握的变量值本身是比率形式时，采用几何平均法计算平均比率更为合理。 当所平均的各比率数值差别不大时，算数平均和几何平均相差不大，但如果相差较大时，二者的差别就很明显。	不适用	不适用	用各组的组中值代表各组的实际数据，使用这一代表值时假定各组数据在组内是均匀分布的。如果实际数据与这一假定相吻合，计算的结果是比较准确的，否则误差会比较大	极差R（全距）	测度数值型数据离散程度的主要方法 计算简单，容易理解，易受极端值的影响 只利用了一组数据两端的信息，不能反映出中间数据的分散状况，因而不能准确描述出数据的分散程度。	$R=max(x_i)-min(x_i)$
					平均差$M_d$（平均绝对离差）	各变量值与其平均数离差绝对值的平均数 。 平均差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能全面准确地反映一组数据的离散状况，平均差越大，说明数据的离散程度越大 平均差含义较清楚，但是绝对值不好计算，应用较少 测度数值型数据离散程度的主要方法	$$未分组：M_d=\frac{\sum_{i=1}^n |x_i-\bar{x}|}{n}$$ $$分组:M_d=\frac{\sum_{i=1}^k|M_i-\bar{x}|f_i}{n}$$
					方差$s^2$与标准差$s$	方差：各变量值与其平均数离差平方平均数 标准差：方差的平方根 方差或标准差能较好的反映出数据的离散程度，是应用最广的离散程度的测度值 因为标准差是有量纲的，它与变量值的计算单位相同，实际意义比方差清楚，因此，实际问题更多的使用标准差 测度数值型数据离散程度的主要方法	设样本方差为$s^2$ ,则样本方差的计算公式为$$未分组数据 s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$$ $$分组数据:s^2=\frac{\sum_{i=1}^k(M_i-\bar{x})^2f_i}{n-1}$$
					离散系数（变异系数）	对于平均水平不同或计量单位不同的不同组别的变量值，不能用标准差直接比较其离散程度 离散系数：一组数据的标准差与其相应的平均数之比$v_s=\frac{s}{\bar{x}}$ 主要用于比较不同样本数据的离散程度,离散系数大，说明数据的离散程度也大。	$v_s=\frac{s}{\bar{x}}$ 比如比较不同运动员的射击成绩
					标准分数（标准化值或z分数）	变量值与其平均数的离差除以标准差后的值称为标准分数 标准分数给出了一组数据中各数据的相对位置 可以消除量纲的影响 3$\sigma$准则,经验法则，只适合对称分布的数据: 约有68%的数据在平均数$\pm$1个标准差的范围之内 约有95%的数据在平均数$\pm$2个标准差的范围之内 约有99%的数据在平均数$\pm$3个标准差的范围之内 离群点:在$\pm$3个标准差之外的数据 切比雪夫不等式:对任何分布形态的数据都适用。表示至少有$(1-1/k^2)$的数据落在$\pm$k个标准差内，k是大于1的任意值，但不一定是整数。 至少有75%的数据在平均数$\pm$2个标准差之内的。 至少有89%的数据在平均数$\pm$3个标准差之内的。 至少有94%的数据在平均数$\pm$4个标准差之内的。	$$z_i=\frac{x_i-\bar{x}}{s}$$ 比如说英语成绩和数学成绩，我们不能单纯比较成绩，而要比较成绩在相应科目中的相对位置。
峰态和偏态
偏态	偏态：数据分布对称性的测度 偏态系数：SK，在计算SK时，将离差三次方的平均数除以$s^3$是为了将偏态系数转化为相对数。 对称：SK=0。若SK明显不等于0，则分布不对称，SK越大，偏斜程度越大。 未分组:$$SK=\frac{n\sum(x_i-\bar{x})^3}{(n-1)(n-2)s^3}$$ 分组:$$SK=\frac{\sum_{i=1}^{k}(M_i-\bar{x})^3 f_i}{ns^3}$$ 分布的分类 $SK>1或SK<-1$,高度偏态分布 $0.5\leq SK \leq 1$或$-0.5\leq Sk \leq -0.1$,中等偏态分布 偏态系数越接近0，偏斜程度越小。大于0，右偏
峰态	对数据分布平峰或尖峰程度的测量。峰态通常与标准正态分布相较而言的，如果一组数据服从正态分布，则峰态系数的数值为0；若峰态系数明显不等于0，则表明分布比正态分布更平或更尖，通常称为平峰分布或尖峰分布 峰态系数： 未分组:$$K=\frac{n(n+1)\sum (x_i-\bar{x})^4-3[\sum(x_i-\bar{x})^2]^2(n-1)}{(n-1)(n-2)(n-3)s^4}$$ 分组:$$K=\frac{\sum_{i=1}^k(M_i-\bar{x})^4 f_i}{ns^4}-3$$ 正态分布峰态系数为0，K>0,尖峰分布，数据分布更为集中，K<0,扁平分布，数据的分布越分散 如果分组公式不减3，那么比较的数字从0改成3即可